El teorema de Pitágoras es ampliamente usado en los primeros grados del bachillerato, principalmente porque es la introducción al estudio de las relaciones trigonométricas. Además, la expresión es bastante sencilla, la cual establece la relación entre los cuadrados de los lados se un triángulo rectángulo cualquiera: el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos. Esto es:
\( c^2 = a^2 + b^2 \)
Donde \( c \) es la hipotenusa, \( a \) y \( b \) son los catetos del triángulo.
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| Fig.1: Hipotenusa c, y catetos a y b de un triángulo rectángulo |
--> Ejemplo 1
Calcular la hipotenusa si los catetos miden 3 cm y 4 cm.
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| Fig. 2: Ejemplo 1 |
SOLUCIÓN
Para el triángulo se tiene que \( a = 3 \ cm \) y \( b = 4 \ cm \). Se reemplazan estos valores en el teorema de Pitágoras.
\( c^2 = a^2 + b^2 \)
\( c^2 = (3 \ cm)^2 + (4 \ cm)^2 \) ⬅️ Sustitución de los valores
\( c^2 = 9 \ cm^2 + 16\ cm^2 \) ⬅️Resolución de los cuadrados
\( c^2 = 25 \ cm^2 \) ⬅️Se obtiene haciendo la suma de \( 9 \ cm^2 \) y \( 16 \ cm^2 \)
\( c = \sqrt{25 \ cm^2} \) ⬅️ Se calcula la raíz cuadrada para obtener el valor de \( c \)
\( c = 5 \ cm \) ⬅️Finalmente, se obtiene el valor de la hipotenusa \( c \)
--> Ejemplo 2
Hallar la longitud del lado desconocido cuando los otros lados son \( c = 12 \) y \( a = 10 \).
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| Fig. 3: Ejemplo 2 |
SOLUCIÓN
Ya que se desconoce \( b \), se hace uso de la expresión \( b^2 = c^2 - a^2 \).
\( b^2 = c^2 - a^2 \)
\( b^2 =(12)^2 - (10)^2 \) ⬅️ Sustitución de los valores
\( b^2 = 144 - 100 \) ⬅️Resolución de los cuadrados
\( b^2 = 44 \) ⬅️Se obtiene haciendo la resta de \( 144 \) y \( 100 \)
\( b^2 = \sqrt{44} \) ⬅️ Se calcula la raíz cuadrada para obtener el valor de \( b \)
\( b^2 = 6.63 \) ⬅️Finalmente, se obtiene el valor de la hipotenusa \( b \)