Los productos notables suelen interpretarse como multiplicaciones de expresiones algebraicas breves. Sin embargo es posible obtener una interpretación gráfica cuando se consideran áreas de cuadrados. En esta ocasión se realizan ejemplos de los tres casos más frecuentes:
- \( (a+b)^2 \)
- \( (a-b)^2 \)
- \( (a+b)(a-b) \)
En el primer caso, \( (a+b)^2 \) se obtiene \( a^2 + 2ab +b^2 \). Esto es: \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab +b^2 \). Respecto al segundo, se tiene una diferencia con el primer caso, el segundo término de la solución es negativo: \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab +b^2 \). Finalmente, en el tercer caso, la solución es el primer término al cuadrado MENOS el segundo término al cuadrado: \( (a+b)(a-b)=a^2 - b^2 \).
¿Cómo resolver un ejercicio del primer caso?
EJERCICIO 1: \( (3m+n)^2 \)
-- Primero: identificar a qué corresponde \( a \) y \( b \).
Para el ejercicio propuesto, \( a=3m \) y \( b=n \).
-- Segundo: obtener \( a^2 \).
Se tiene, \( a^2 = (3m)^2 = 9m^2 \).
En el ejercicio: \( (3m+n)^2 = 9m^2 \).
-- Tercero: obtener \( 2ab \).
A partir del ejercicio, \( 2ab = 2(3m)(n) = 6mn \).
En el ejercicio, \( (3m+n)^2 = 9m^2 + 6mn \).
-- Cuarto: obtener \( b^2 \).
Entonces, \( b^2 = (n)^2 = n^2 \).
-- Finalmente el resultado: \( (3m+n)^2 = 9m^2 + 6mn + n^2 \)
EJERCICIO 2: \( (2x - y^2z)^2 \)
-- Primero: identificar a qué corresponde \( a \) y \( b \).
Para el ejercicio propuesto, \( a=2x \) y \( b=y^2z \).
-- Segundo: obtener \( a^2 \).
Se tiene, \( a^2 = (2x)^2 = 4x^2 \).
En el ejercicio: \( (2x-y^2z)^2 = 4x^2 \).
-- Tercero: obtener \( 2ab \).
A partir del ejercicio, \( 2ab = 2(2x)(y^2z) = 4xy^2z \).
En el ejercicio, \( (2z-y^2z)^2 = 4x^2 + 4xy^2z \).
-- Cuarto: obtener \( b^2 \).
Entonces, \( b^2 = (y^2z)^2 = y^4n^2 \).
-- Finalmente el resultado: \( (4x-y^2z)^2 = 4x^2 -4xy^2z + y^4z^2 \)
EJERCICIO 3: \( (6m+9)(6m-9) \)
-- Primero: identificar a qué corresponde \( a \) y \( b \).
Para el ejercicio propuesto, \( a=6m \) y \( b=9 \).
-- Segundo: obtener \( a^2 \).
Se tiene, \( a^2 = (6m)^2 = 36m^2 \).
En el ejercicio: \( (6m+9)(6m-9) = 36m^2 \).
-- Tercero: obtener \( b^2 \).
Entonces, \( b^2 = (9)^2 =81 \).
-- Finalmente el resultado: \( (6m+9)(6m-9) = 36m^2 -81 \)