Ejemplo movimiento parabólico

Ejercicio: Un proyectil se dispara en tal forma que su alcance horizontal es igual a tres veces su altura máxima. ¿Cuál es el ángulo de proyección?

SOLUCIÓN

Lo que hay que hallar:

• $\theta =?$

Se usaran las expresiones de alcance máximo y de altura máxima:

Alcance máxima

$h=\frac{v_i^2\cdot \sin (2\theta )}{g}(1)$

Altura máxima

$y_{max}=\frac{v_i^2\cdot {\sin }^2\theta }{2g}$

De acuerdo al problema $h=3y_{max}$, por lo tanto:

$3y_{max}=3\frac{v_i^2\cdot {\sin }^2\theta }{2g}$

$h=3\frac{v_i^2\cdot {\sin }^2\theta }{2g}(2)$

Igualando $(1)$ y $(2)$

$\frac{v_i^2\cdot \sin (2\theta )}{g}=3\frac{v_i^2\cdot {\sin }^2\theta }{2g}$

Haciendo la simplificación se obtiene:

$\sin (2\theta )=\frac{3}{2}{\sin }^2\theta$

Aplicando la identidad trigonométrica de ángulos dobles para $\sin$:

$2\sin \theta \cos \theta =\frac{3}{2}{\sin }^2\theta$

$\frac{\sin \theta \cos \theta }{{\sin }^2\theta }=\frac{3}{4}$

Simplificando, 

$\frac{\cos \theta }{\sin \theta }=\frac{3}{4}$

$\frac{4}{3}=\tan \theta$

${\tan }^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)=\theta$

El ángulo de proyección es:

$\theta =53,1º$