Ejemplo de movimiento en dos dimensiones

Ejercicio 

Una bola se lanza desde una ventana en un piso superior de un edificio. A la bola se le da una velocidad inicial de 8.00 m/s a un ángulo de 20.0° bajo la horizontal. Golpea el suelo 3.00 s después. a) ¿A qué distancia, horizontalmente, desde la base del edificio, la bola golpea el suelo? b) Encuentre la altura desde la que se lanzó la bola. c) ¿Cuánto tarda la bola en llegar a un punto 10.0 m abajo del nivel de lanzamiento?

SOLUCIÓN

Datos conocidos del problema:

• $\theta =20$º
• $v_i=20m/s$
• $t=3s$

Lo que hay que hallar:

• $x=?$ cuando $$
• $y_i=?$
• $t=?$ cuando $\mathrm{\Delta }y=10m$

Para calcular $x$ cuando $t=3s$

$v_x=v_i\cdot \cos \theta$

$v_x=(8m/s)(\cos (20º))$

$v_x=7,51m/s$

$x=v_x\cdot t$

$x=(7,51m/s)(3s)$

$x=22,53m$

La distancia recorrida horizontalmente en $3s$ es $x=22,53m$

Para calcular $y_i$

Se va a usar la ecuación $2gy=v_{fy}^2-v_{iy}^2$, por lo tanto se hallará $v_{iy}$ y $v_{fy}$. 

$v_{iy}=v_i\cdot \sin \theta$

$v_{iy}=(8m/s)(\sin (20º))$

$v_{iy}=2,73m/s$

Debido que el ángulo es bajo la horizontal, $v_{iy}=-2,73m/s$

$v_{fy}=v_{iy}+at$

$v_{fy}=-2,73m/s-(9,8m/s^2)(3s)$

$v_{fy}=32,13m/s$

$2gy=v_{fy}^2-v_{iy}^2$

Ahora $y_i$ será:

$y_i=\frac{v_{fy}^2-v_{iy}^2}{2g}$

$y_i=\frac{(32,13m/s{)}^2-(2,73m/s{)}^2}{2(9,8m/s^2)}$

$y_i=52,29m$

La altura inicial con la fue lanzada al bola fue $y_i=52,29m$

Para hallar $t$ cuando $\mathrm{\Delta }y=10m$

$y=y_i-10m$

$y=52,29m-10m$

$y=42,29m$

$y=y_i+v_{iy}t-\frac{g{t}^2}{2}$

$0=\frac{-g{t}^2}{2}+v_{iy}t-\mathrm{\Delta }y$

$0=-4,9t^2-2,73t+10$

Solucionando de acuerdo con la ecuación cuadrática:

$t=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-(-2,73)\pm \sqrt{(-2,73{)}^2-4(-4,9)(10)}}{2(-4,9)}$

$t=1,17s$

La bola tarda $1,17s$ en bajar $10m$