Ejemplo de movimiento con aceleración uniforme en una dimensión

Ejercicio: Un camión cubre 40.0 m en 8,50 s mientras frena de manera uniforme a una rapidez final de 2,80 m/s. a) Encuentre su rapidez original. b) Encuentre su aceleración.

SOLUCIÓN:

Datos conocidos del problema:

• $x_f-x_i=x=40m$
• $t=8,5s$
• $v_f=2,8m/s$

Lo que hay que encontrar:

• $v_i=?$
• $a=?$

Planteamiento de las ecuaciones para la solución del problema:

Teniendo en cuenta que no se puede plantear una sola ecuación que permita hallar una de las variables solicitadas, se realiza un sistema de ecuaciones con dos variables. El sistema de ecuaciones es:

$$(1)2ax=v_f^2-v_i^2$$

$$(2)a=\frac{v_f-v_i}{t}$$

Solución del sistema de ecuaciones:

Reemplazando $(2)$ en $(1)$:

$$2\left(\frac{v_f-v_i}{t}\right)x=v_f^2-v_i^2$$

$$\left(\frac{2x}{t}\right)v_f-\left(\frac{2x}{t}\right)v_i=v_f^2-v_i^2$$

Con el objetivo de simplificar, considérese $\alpha =\frac{2x}{t}$. Entonces, 

$$\alpha v_f-\alpha v_i=v_f^2-v_i^2$$

$$v_i^2-\alpha v_i+\alpha v_f-v_f^2=0$$

Siendo que $\alpha v_f-v_f^2$ es el resultado de operaciones entre constantes, se puede hacer el reemplazo por una letra. En este caso por $\beta$:

$$v_i^2-\alpha v_i+\beta =0$$

Para hallar $v_i$ se debe resolver la ecuación cuadrática anterior teniendo en cuenta que $\alpha$ y $\beta$ corresponde a:

$\alpha =\frac{2x}{t}=\frac{2\ast 40m}{8,5s}=9,41m/s$

$\beta =\alpha v_f-v_f^2=9,41m/s\cdot 2,8m/s-(2,8m/s{)}^2=18,51m^2/s^2$ 

Entonces la ecuación cuadrática queda como,

$$v_i^2-9,41v_i+18,51=0$$ 

La solución de esta ecuación corresponde a: $v_{i1}=2,8m/s$ y $v_{i2}=6,6m/s$. Ya que la velocidad inicial es debió ser mayor que la final, se toma la solución $v_i=6,6m/s$. 

Para hallar $a$, se usa la ecuación $(2)$,

$$a=\frac{v_f-v_i}{t}$$

$$a=\frac{2,8m/s-6,6m/s}{8,5s}$$

$$a=-0,44m/s^2$$

El camión tuvo una rapidez inicial de $6,6m/s$ y una aceleración de $-0,44m/s^2$.