Ejercicio: Un proyectil se dispara en tal forma que su alcance horizontal es igual a tres veces su altura máxima. ¿Cuál es el ángulo de proyección?
SOLUCIÓN
Lo que hay que hallar:
- \( \theta = ? \)
Se usaran las expresiones de alcance máximo y de altura máxima:
Alcance máxima
\( h = \frac{v_i^2 \cdot \sin (2 \theta)}{g} \ (1) \)
Altura máxima
\( y_{max} = \frac{v_i^2 \cdot \sin^2 \theta}{2g} \)
De acuerdo al problema \( h = 3y_{max} \), por lo tanto:
\( 3 y_{max} = 3 \frac{v_i^2 \cdot \sin^2 \theta}{2g}\)
\( h = 3 \frac{v_i^2 \cdot \sin^2 \theta}{2g} \ (2) \)
Igualando \( (1) \) y \( (2) \)
\( \frac{v_i^2 \cdot \sin (2 \theta)}{g} = 3\frac{v_i^2 \cdot \sin^2 \theta}{2g} \)
Haciendo la simplificación se obtiene:
\( \sin (2 \theta) = \frac{3}{2} \sin^2 \theta \)
Aplicando la identidad trigonométrica de ángulos dobles para \( \sin \):
\( 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{3}{2} \sin^2 \theta \)
\( \frac{\sin \theta \cos \theta}{\sin^2 \theta} = \frac{3}{4} \)
Simplificando,
\( \frac{ \cos \theta}{ \sin \theta} = \frac{3}{4} \)
\( \frac{4}{3} = \tan \theta \)
\( \tan^{-1} \left( \frac{4}{3} \right) = \theta \)
El ángulo de proyección es:
\( \theta = 53,1º \)